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RE:時間差の謎

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)18時45分50秒

時間差の謎の回答はⅠ～Ⅷまで分割となりましたが、これでは読みづらいのではということで、CoffeeBreakのコーナーに一気に全文を掲載しました。よろしければこちら参照してみてください。タイトルは特殊相対性理論のパラドックス。

＜時間差の謎：パートⅧ＞ ◆ロケット内の科学者に立場以上は地球に残った彼女の立場からしか考えていませんでしたが、ロケット内の科学者の見た自分の時計と彼が見た地球上の時計について考えて見ましょう。かれの立場からすれば地球と星との距離は決して１０光年ではありません。光速に近い非常なスピードで走っているから、ローレンツ収縮により距離は縮みます。その結果、地球と星との距離は１.４１光年となります。往復で２.８２光年ですね。これをロケットの速さ（光速の９９％）で割ると２.８２÷０.９９＝２.８５、つまり２.８５年となる、出発から帰還まで科学者自身が自分の時計を見ていると２.８５年経過し、４０歳の彼は４３歳ほどで帰還することになります。これは地球上の人が観測したかれの年齢と全く一致します。ところで、科学者が地球上の時計を見ると、地球はロケットに対して光速の９９％の速さで走っていることになりますから、科学者の時計よりも１割４分の速さで時を刻むことになります。科学者の時計は、自分でみて往復合わせて２.８５年ですから、この間に科学者の見た地球の時計の進み具合は２.８５×０.１４＝０.４年しか経たない。だから、地球の彼女は帰還時にはやはり１８歳である・・・としてはいけないのである！！これでは矛盾になってしまいます。どこがおかしいのかということは双子のパラドックスで指摘したようにロケットのＵターンが曲者だったのです。Ｕターンするときに、科学者から見た地球上の時計はものすごく時間が経過します。Ｕターンする間に科学者の時計はほとんど進行しませんが、地球上の時計は計算すると１９.８年も経過してしまいます。だから、地球上の人間の年の取り方をロケット内に人が見ていたら、往路で０.２年、Ｕターンの時１９.８年、帰路で０.２年、合計２０.２年となり、地球上の人が自分の時計を見ていた場合とピタリ一致します。一般相対性理論を認めると、もっと遠い星まで旅行してくれば、地球上では５０年も１００年も時間が経過しているということも考えられます。帰還した旅行者が自分の子供よりも、孫よりも若いということも起こり得ます。ところで、何か釈然としないものが残りますね。それはなぜ地球系とロケット系とで不平等でなければならないのか。ロケットも地球も宇宙に浮かんでいる物体であることは変わりない。ロケットが往復運動したのではなく、ロケットは止まっていて地球の方が行ってきたとしても全く同じではないか。そう考えると地球人だけが年をとる理由は全然ないではないか、という反論です。こうなると、一般相対性理論の正誤は実験の判定を待つしかないのですが、精密な実験の結果、一般相対性理論の正しさが確認されています。これは時空間のもつ不思議な性質なのですね。深く考えると、頭が錯乱してきますが、、、、兎も角、ロケットの科学者と地球で待つ彼女は年齢差５歳に縮まり、めでたくご結婚されるのでしょうね（先のことは科学でも分かりません。。。）ということで、この小文を終わることにします。お疲れさまでした。

時間差の謎（Ⅶ）

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)17時48分44秒

＜時間差の謎：パートⅦ＞　　　　　　　　　　◆◆◆◆◆ご質問に対する回答◆◆◆◆◆◆ さぁ、いよいよご質問に対する回答をしてまいりましょう。ご質問は上の双子のパラドックスと同類です。ご質問のエッセンスは「宇宙船に乗って宇宙へ出て行った人が帰って来る時、帰ってきた地球では､宇宙より時間が遅く流れていて､宇宙で過ごしたはずの時間よりまだ昔の時を生きているのは理解できない」ということですね。そこで次のようなシナリオを立ててこの問題を考えることにします。＜シナリオ＞ 40歳のある科学者が18歳の少女に恋をした。独身の彼は結婚を望んだが、年齢の差が彼女へのプロポーズを躊躇させた。そこで彼は高性能ロケットに乗って宇宙旅行にでかけることにした（無論科学者には後で述べるように、年齢差に対することへの成算が十分あった）。ロケットは光速度の９９％の猛スピードの等速度で飛び出し、やがて地球から１０光年離れた星の近くまで行くと、そこでロケットは急激にＵターンし、再び光速度の９９％の速さで地球に引き返し、地球に帰還した。ここで科学者と少女は再会するが、二人の年齢はどうなっているか。。。じつは科学者は43歳で少女はナント38歳となっているのです。＜解釈＞ ◆地球上の彼女の立場ロケットが10光年先の星に着くまでには、彼女の時計では１０÷０.９９＝１０.１年、つまり１０年と３６日半かかることになります。Ｕターンは瞬時に行われるから、その間だには彼女の時計はほとんど進行しません。かえりは行きと同じく、彼女の時計は１０年と３６日半経過します。だから、ロケットが機関した時、彼女の時計では２０年と７３日経過したことになり、１８歳でロケットを送り出した彼女は既に３８歳の年齢に達していることになります。彼女から見た科学者はどうなっているかというと、速く走っている相手方の時間の経過は非常にのろく、彼女の見た科学者の時計は非常にゆっくりと時を刻んでいることになります。往路でも帰路でも光速の９９％の早さですから、計算すると彼女の時計の進み方よりも約１割４分ほどしか進まないことになります。ロケットの帰還までに彼女は２０.２年の年をとりますが、科学者はその１割４分ほど、すなわち２０.２×０.１４＝２.８５で２.８５年しか年をとっていないことになります。つまり４０歳の科学者はほぼ４３歳で、２人の年齢の差は５年ほどに縮まってしまったことになります。

時間差の謎（Ⅵ）

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)17時46分0秒

＜時間差の謎：パートⅥ＞【パラドックス２】・・・カサンドラクロス：落ちた鉄橋長さ１００メートルの電車が光速の３０％で走っている。電車が鉄橋にさしかかった。鉄橋で見ていた人は、電車の最後尾が崖から離れた瞬間に、鉄橋が突風のため、１００メートルの間隔で落ちてしまったのを目撃した。はたして、電車が谷底に真っ逆さまに落ちてしまうのであろうか。ローレンツ収縮により、電車は縮んで９５.４メートルの長さになっており、穴は１００メートルなので落ちるものと思われる。だが、電車の立場では、縮んでいるのは鉄橋の穴のほうで、９５．４メートルの長さなので、電車の先端は、すでにもう一方の崖に達しているから電車は落下しないですむ。またまた、なんたる矛盾！！＜解釈＞アリスの立場では、動いている電車の両端を同時に測ると９５.４ｍなので、電車は１００ｍの穴に確かに落ちる。一方、ボブの立場では、自分に対して止まっている電車の両端を同時に測ると１００ｍのままだが、動いている鉄橋の穴は９５.４ｍに縮む。電車の先端が鉄橋に９５.４ｍの地点にさしかかったとき、電車の最後尾はまだ陸の上にあるが、既に鉄橋は落ちている。電車の先端は下に落ち始め、そのまま斜めになった谷底へ真っ逆さま。やはり、同時の概念の違いがポイントなのですね。【パラドクス３】双子のパラドックス：猿の惑星宇宙旅行から帰ってきたら、地球では何万年もの歳月が流れていて、人類は猿たちの家畜と化していた。だが、相対性理論では、宇宙船で出かけた人も地球に残った人も立場は相対的なはず。宇宙旅行に出かけて帰ってきた人の時計が絶対的に遅れて歳をとらないのは相対論に矛盾する！＜解釈＞宇宙旅行に飛び出し、ある時点で軌道を地球に向けて戻ってきたとします。アリスは地球に残り、ボブは宇宙船に乗っって宇宙旅行にいったとします。本来は「アリスはボブの時計が遅れていると思うし、ボブは逆にアリスの時計が遅れていると思う」という相対的な状況となるはずですが、これが崩れて”ボブの時計が物理的に絶対的に遅れている”ことがこのパラドックスなのですね。この秘密は、宇宙船の「折り返し点」に隠されているのです。つまり、折り返し点では宇宙船の速度が変化します。つまり折り返し点では一旦速度０となり、それから地球に向かって走りだすわけですが、このとき速度が変化しますので加速度がかかることになります。加速度がかかると、”時計は絶対的に遅れる”ことが一般相対性理論からでてきます。つまり、加速度のかかったボブの立場はもはやアリスと相対的ではなくなります。ボブが自分の時計を見ている限り、折り返しは一瞬の出来事だが、ボブが遠く離れたアリスの時計を見ていると、なんと、折り返しの直前と直後とで、時計の針がピョンと飛ぶように見える。一気に時計が進んでしまう。これがボブの時計が遅れる原因である。

時間差の謎（Ⅴ）

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)17時45分0秒

＜時間差の謎：パートⅤ＞＜特殊相対性理論のパラドックスについて＞さて、特殊相対性理論のレビューはいかがでしたでしょうか。サッパリ分からん場合は、読まれた方に責任があるのでなく、書いた方の力が足らないために理解が進まなかったといことですから、決して落胆はされないように。。。いよいよご質問の長年の悩み解決に一歩近づいてきました。ここでは今までの話の総括としてよく取りあげられる面白い話（パラドックス）を紹介しておきます。これは竹内薫　「アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本」工学社からの引用です。アリスは止まっていて、ボブは速度Ｖで動いているとします。【パラドックス１】・・・棒を持って車庫に突っ込む男：車庫に入る棒長さ２０メートルの棒を持った男（ボブ）が、光速の８６.６６６･･･％で奥行き１０メートルの車庫に突入する。ローレンツ収縮により棒は１０メートルに縮んでいるから、棒は車庫にすっぽりと収まる。でもボブの立場では車庫が自分に向かってくるのであり、ローレンツ収縮により車庫は５メートルに縮んでいるので、棒は車庫には収まらない。う～ん、何たる矛盾。＜解釈＞車庫と一緒に立っているアリスから見ると、動いている棒の両端を同時に図ると１０ｍだから、棒はすっぽりと車庫に入る。しかし、走っているボブに固定された座標系から棒の長さを図ると２０ｍ、ボブに向かって動いてくる車庫は５ｍに縮んでいるため、棒の先端が車庫の奥の壁に当ったとき、棒の３/４は入りきらないで外にある、、、以下、本よりの引用。・・・大きさのある物体の長さを測るには、両端を「同時」に測る必要があるわけだが、その「同時」の意味は人によってちがう。２０ｍの棒を持って走っているボブからすれば、アリスは棒の先端が車庫の奥の壁に当ったとき、そこにマーカで印をつけ、ゆっくりと車庫の入り口まで時間をかけて歩いていき、車庫の入口に棒の後端が到達したとき、そこに印をつけ、「はい、棒の長さは１０ｍでした」と発言したように思われる。ボブは「アリスよ、お前は同時に棒の両端を測っていないじゃないか！」と言いたくなるだろう。でもアリスもボブも、自分達の「同時」の概念に従って正しく棒と車庫の長さを比較したのである。二人とも間違っていない。二人の立場は相対的なのだ。・・・

時間差の謎（Ⅳ）

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)17時43分23秒

＜時間差の謎：パートⅣ＞＜ローレンツ収縮について＞さて、棒の長さというものは一体何なのかということを考えて見ましょう。 ”長さ”というからにはある座標系で棒の両端を同時に測らなければなりません。棒の一端Ａを時刻ｔaで測り、一端Ｂを時刻ｔbに測って勝手にｘb－ｘaを棒の長さだとしてもそれば棒の長さとは関係ないのです。同時刻ｔa＝ｔb＝ｔにおける量｜ｘb－ｘa｜を棒の長さと考えなければなりません。いま、棒がある座標系Ｋ’に対してｘの正の方向に速さＶで動いているとします（走っている車の中で棒の長さを測るというイメージ）。動いている車の座標系をＫとします。車の中でのｘa、ｘbは車の外（Ｋ'座標系）ではダッシュをつけてｘa'、ｘb'と観測されるとします。するとぞれぞれの関係は時刻をta＝tb＝ｔ（同時刻）とすると、　　ｘa'＝(ｘa－Ｖt）÷γ　ｘb'＝(ｘb－Ｖt）÷γ という関係式が得られます。γは上にでてきましたね。さて、ｘb'とｘa'の差が棒が静止している時の長さ（Ｌ0）で、車の中で測った棒の長さ（Ｌ）はｘbとｘaの差になります。上の式を操作すると　　|ｘb－ｘa|＝L＝Ｌ0×√(１－β^2) となりますが、この式をよくご覧になってください。ナント動いている棒の長さ（Ｌ）は静止している棒の長さＬ0より短くなっているではありませんか！！　つまり、棒の長さは、車の外から走っている棒を見た場合、運動方向に縮まるのです。これをローレンツ収縮と呼んでいます。また、時刻についても、車の中の時刻は車の外から眺めた場合、車の外の時刻より”ゆっくり進む”ことになります。つまり、座標系によって時計の刻み方が異なります。注意すべきは、このような現象は決して車に乗っている人が棒に圧力を加えたためとか、時計をわざと遅らせたためとかいうのではなく、完全に空間・時間の性質からきたものである、という点です。びっくりしますが、空間・時間の本質はこのようなものなのですね。 ◆上の議論を整理すると ①走っている棒は短く収縮して見え、時計はゆっくりと進む。これをローレンツ収縮と呼ぶ。 ②ローレンツ収縮は空間・時間の本質的な性質から生じる。

時間差の謎（Ⅲ）

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)17時41分33秒

＜時間差の謎：パートⅢ＞普通、時間というものを座標とは別に特別なものとして捉えていますが、特殊相対性理論では時間も座標も同じ仲間であるという認識に立っています。つまり、従来は、現実の時間というのは、すべての座標系に対して絶対的かつ共通のものとして考えてきました。しかし、アインシュタインは、それは正確ではないんだ、時間はそれぞれの座標系に共通のものではなく、各座標系はそれぞれ”自分の時間”を持つのだ、というです。”同時刻”という意味は各座標系で異なっている、ということなのですね。このことは、物体の長さや時計の進み方が各座標系によって異なるという事情を生み出すことになります。この辺の事情を具体的に見て見ましょう。ある事件（例えば花火を打ち上げた）が起こったとします。その事件がいつ・どこで起こったかを指定するために１つの座標系Ｋを考えます。そこで事件が起こった場所をｘ、事件の起こった時刻をｘ0とします。同じ事件を、ちょうど、車で通りかかったＡ氏が見たとき（※）、Ａ氏は事件の起こった場所はｘ’、時刻はｘ0’だったといいました。両者の（ｘｘ0）と（ｘ'，ｘ0'）の関係を計算すると　ｘ'＝（ｘ－βｘ0）÷γ、ｘ0'＝（ｘ0－βｘ）÷γ、　β＝Ｖ÷ｃ、γ＝√（１－β^2）　（但し、β^2はβの2乗でβ×βのことです）となります。この式を見ると、Ａ氏が言う場所ｘ’はｘと異なっていることが分かります。また、事件の発生時刻もｘ0と異なる時刻ということになります。つまり、同じ1つの事件でも車のＡ氏から見れば、事件は異なった場所、異なった時刻で起こったことなる訳で、”同時”ということが座標系によって異なるという、びっくりするような事情が出てきます。もっとも車の速度Ｖが光速度ｃに比べて非常に遅ければ、上の式からβ≒１となりますので、この結果ｘ'＝ｘ、ｘ0'＝ｘ0となり、普通日常生活で経験していることが成りたちます（←日常生活はほとんどこれですからご安心召されたい、、、）。（※）車は座標系Ｋのｘの正の方向に速度Ｖで走っており、両者の座標の原点が一致したときに両者の時計も一致していたとします・・・ややこしいですが絵を描いて考えてみてください） ◆整理すると ①時間はすべての座標系で絶対的かつ共通のものではない。各座標系はそれぞれ自分の時間を持つ。 ②同時刻という意味は各座標系で異なる。

時間差の謎（Ⅱ）

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)17時40分3秒

＜時間差の謎：パートⅡ＞しかし、これはあくまで速度が光速度に比べて非常に遅い場合に成り立つのであって、光速度に近い（光の速さは確か1秒間に地球を7周半回る速さ）、非常に早い速度の場合には、この常識がなんと覆ります。電車Ａ、Ｂが互いに光速度ｃｋｍ/Ｈｒで動いていたとしますと、座標Ｋから観測した座標Ｋ’の電車Ｂの速さは常識通り２ｃＫｍ／Ｈｒとはならない！　ではどうなるかというと光速度のｃＫｍ/Ｈｒとなる。これは光速度以上のものは存在しないという特殊相対性理論からの要請からでてきます。光の速度ｃＫｍ/Ｈｒはどんな等速度運動している座標系からみてもやはりｃＫｍ/Ｈｒなのです。これを光速度不変の原理と呼んでおり、アインシュタインの特殊相対性理論の根幹を成すものです。・・・そうしたら等速度運動ではなく、加速度運動していたら（電車の運転手が急にアクセル？を踏んだら）どうなるんだ、ということになりますが、この場合は、アインシュタインの一般相対性理論の話となる訳で、時間は絶対的に遅れることになるということだけ指摘しておきます（双子のパラドックス参照）。一般相対性理論の話は曲がった空間などの話がでてきたりしますが、私は道に迷いそうになるので、ここでの世界の話は省略します（→実は余りよく知らない）。 ◆以上の話を整理すると、 ①アインシュタインの特殊相対性理論は、光速度はどんな座標系から見ても一定である（光速度不変の原理）ことからできている。 ②同じ光速度で合い互いに近づく場合、相手の速度を観測してもはやはり光速度である。＜時間・空間の捉え方について＞ふ～ん、なんとなく特殊相対性理論の概要は分かったが、なんで光速度はどんな座標系（慣性系）から見ても一定になるの？という疑問は一向に払拭されない、、、ですね。この辺の議論をやり始めると少し数学的になりますので、このことはまた別の機会に譲るとして、ここでは、特殊相対性理論の骨子となる時間・空間の考え方を述べておきます。

RE:時間差の謎（Ⅰ）

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月31日(土)17時38分5秒

鵜野さん、はじめましてKENZOUです。ようこそいらっしゃいました、大歓迎します。さて、ご質問の件ですが、これはアインシュタインの特殊相対性理論（と一般相対性理論）の知識が必要となりますので、まず簡単にそのレビューをします。一読されて分からないところがあれば、もう一度読みなおすか、どんどん質問をだすかしてみましょう。賢問に対し愚答を差しあげるのは私の得意とするところですし、理解していただいてはじめてこの小文も活きますから。＞時がたっても私の謎は深まるばかりです謎の疑問をずっと暖めておくのは大変大事なことですね。その疑問が氷解したときの時の喜びはなにものにも代えがたいものがありますね。といって、私の回答が鵜野さんの疑問を氷解するかどうかは保証の限りではありませんが、、、掲示板に一気に掲載するのは本文は長すぎますので、７分割程度にして掲示しますのでよろしく。それでははじめますが、回答をとにかく先に見たい場合は、後ろの方の◆ご質問に対する回答◆ところから先に読んでください。＜特殊相対性理論について＞特殊相対性理論は、どのような慣性系から見ても真空中の光速度は一定である、という要請をベースに組み立てられた物理の理論（その正しさは完全に証明されています）です。ここで慣性系ってなに？・・・となりますが、これは便宜上、太陽系に固定した座標系とか、それに対して”等速度”で動いている座標系などを考えればいいと思います。等速度というのが一つのキーワードとなりますが、これについては後で説明しますので、それまでのお楽しみに。さて、上に述べた「どのような慣性系から見ても真空中の光速度は一定である」なんて言われても、すぐにはピンときませんね。これは次のように考えればよいと思います。何処かへ市電Ａに乗ってでかけたとします。今、市電Ａに固定した座標系をＫとしましょう。向こうから市電Ｂが走ってきました。この市電Ｂに固定された座標系をＫ’とし、ついでに地球に固定された座標系をＥとします。また、市電Ａ、Ｂの速さをそれぞれ時速ＶＫｍとします。ところで市電の速さは、一体何に対しての速さかというと（→普段あまりそのようなことは考えないが、ここは物理的に問題を捉えようとしているので）、地球に固定された座標系Ｅに対してということになりますね。座標系Ｋと共に動いている（市電Ａに乗っている）私には、向こうからくる市電Ｂの速さは２Ｖｋｍ/Ｈ（＝Ｖ＋Ｖ）となりますね。これは速度の加法則とか合成則とかいわれるもので、実際、市電に乗って経験すれば、その通りだと感じることができますね。

時間差の謎

投稿者：鵜野　啓子投稿日：2004年 1月30日(金)11時48分0秒

以前何かの本で読んで､解けない謎があります。それは宇宙船に乗って宇宙へ出て行った人が帰って来る時、帰ってきた地球では､宇宙より時間が遅く流れていて､宇宙で過ごしたはずの時間よりまだ昔の時を生きているということです。８０日間世界一周の一日の時差は分かるのです。また､時間よ、止まれ！といって時間をとめることの出来る少年の話も漫画で読んだことがあるのですが、その場合は、ものすごいスピードでその子だけが行動するので、ほかの人の動作が止まったようになるのだという話もわかるのですが、この宇宙船の話だけはどうしても理解できません。これは物理学の世界の話なのかどうかも分かりませんが、その本には分かりやすく書いてあったと思うのですが、いくら読んでも分かりませんでした。時がたっても私の謎は深まるばかりです。奥様のご紹介でこのお部屋のことを教わりました。誰にも質問できないこの悩みを解決していただきたく、アクセスさせていただきました。どうかよろしくお願いいたします。

RE:お久しぶりです

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月23日(金)22時02分32秒

いやぁ～お久しぶりです。本年もよろしくお願いします。＞私はこれからサークルの中で解析力学をセミナー形式で勉強していこうかというそうですか、解析力学は偏微分のオンパレードでとっつきにくいなぁと見える面がある反面、やってみれば結構面白いですね。最初は計算を追うだけで精一杯というか、まぁ大変ですが、慣れてくるとボチボチ物理的意味がわかり始めたりして、そうなると物理がまた面白くなってきたりと、いろいろ楽しさを提供してくれますね。量子力学を始める前段階としても大事と思います。セミナー形式でやられるということですから、友達とケンケンガクガクやれば理解も早まると思いますね。頑張ってください。ところで、アドバイスいただきましたアダルトサイト的書きこみは消去しました。殆ど書きこみがない掲示板ですのでホッタラカシにしていたのですが、消せば確かにスッキリしました。コメントありがとうございました。また、来てください。

お久しぶりです

投稿者：ゆみ投稿日：2004年 1月22日(木)11時51分47秒

久しぶりに書き込みします。という事で、遅いですが明けましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。解析力学のコンテンツを設けたのですね。私はこれからサークルの中で解析力学をセミナー形式で勉強していこうかという企画があるので、とっても役に立ちます。これから初めて勉強するので、頑張っていきたいと思います。因みに以下にある「嫁さんに言おうか」とかそんな感じの書き込みは大抵アダルトサイトなので、削除していった方が良いと思われますが…。

http://ip.tosp.co.jp/i.asp?I=mkgsAKmol

RE:はじめまして

投稿者：KENZOU 投稿日：2004年 1月 6日(火)22時50分12秒

でぃらっくさん、こんにちは。明けましておめでとうございます。書きこみありがとうございました。「Diracの量子力学を読む」はその後サボり続けていますが、間接的にはCoffeeBreakに掲載したブラケット算法とかでその補填はしているつもりです（笑い）。まぁ、昔の頃のようにはなかなか直線的に進まないものですね。一般相対性理論はテンソル演算が嫌になるほどでてきますが、これはかなり修練を積む必要があるでしょうね。この点で小生は完全に敬遠状態にありますが、でぃらっくさんはその点凄いファイトがあると思いますね。是非頑張ってください。また、一般相対性理論のさわりのようなところを何回かに分けて機会を見てはここに書きこんでいただければ有り難いと思います。今後ともご声援よろしくお願いします。

はじめまして

投稿者：でぃらっく投稿日：2004年 1月 3日(土)00時52分34秒

はじめまして。小生はディラックに関心のあるものです。DIRACで検索したら、ここに来ました。 Diracの「量子力学」はディラック方程式まで学生時代読みました。半年ちょいかかったかな。 KENZOUさんの「Diracの量子力学を読む」を見てなくかしくなり投稿しました。 2年ほど前に、20数年ぶりに物理の本「Diracの一般相対性理論」を読みはじめましたが、いまだに読み終えてません（2/3程度）。机には向かうのですが、本を閉じては、開きという感じでだらだらと読んでいます。うーん、年かな。学生時代のようにはとてもいきません。挫折しかかってます。しかし、 KENZOUさんが「量子力学」を読んでいるんだ。小生も「一般相対性理論」を読破するぞ！！

KENZOU様

投稿者：にこれっと投稿日：2003年 9月29日(月)00時10分1秒

返事遅れてしまってすみません。とても役に立ちました。ありがとうございました。

RE:解析力学やっています（追記）

投稿者：KENZOU 投稿日：2003年 8月23日(土)09時16分7秒

先ほどのメールは一部誤っていたので修正します。 Sのハミルトンの主関数は（２）と関係ない・・・というところが誤りで、 S＝∫Ldt＋定数とかくことができます。訂正します。ところで、dS/dt＋H＝0 を証明するにはハミルトン-ヤコビの理論の知識が必要になりますね。とここで終わっておけばいいのだが、《深みにはまっていく》ここで解析力学を１から始めると大変なことになりますので、多少の知識は前提とします。その辺の補足はご自分で頑張っていただくとして（この際解析力学ノートが多少でもお役に立てば幸いです）、ハミルトン－ヤコビの方程式の復習からスタートしましょう＜ハミルトン－ヤコビの偏微分方程式＞正準変換の母関数Ｗ＝Ｗ(qPt)をとると、元のハミルトニアンをH(qpt)、変換後のハミルトニアンを H＾として　　　pi＝∂W/∂qi　　　　　　　　　　　 (1a) 　　　Qi＝∂W/∂Pi　　　　　　　　　　　 (1b) 　　　H^＝H＋∂W/∂t　　　　　　　　　　 (1c) と書けます。ここで新しいハミルトニアン H^＝0 となる条件は　　 ∂W(qPt)/∂t＝－H(qpt)　　　　　 (2) ですね。(2)を満たすWが求められたとすれば、正準方程式は　　 Pi’＝－∂H^/∂Qi＝0　　　　　　　　（3）となり、Piは定数！となります。それをαiとすると　　 Pi＝αi　　　　　　　　　　　　　　　(4) (1a)､(1b)､(4)を(2)にいれると　　 ∂W/∂t＋H(qi∂W/∂qit)＝０　　　　(5) となります。これがWの満たすべき方程式でハミルトン･ヤコビの偏微分方程式と呼ばれています。＜作用積分がハミルトン-ヤコビの方程式の解であることの証明＞　　 S=∫L(qiqi't)dt　 ('は時間微分)　　(6) のSが(5)を満たすということは　　 ∂S/∂t＋H(qi∂S/∂qit)＝０　　　　(7) ということですね。(6)を時間で微分すると　　 dS/dt＝L＝Σpiqi'－H　　　　　　　　 (8) 一方、S＝S(qiqi't）ですから、これを時間で微分すると　　 dS/dt＝Σ(∂S/∂qi)qi'＋∂S/∂t　　　 (9) (8)と(9)は恒等的に等しいから　　 Σpiqi'－H＝Σ(∂S/∂qi)qi'＋∂S/∂t　 (10) 整理して　　 Σ(pi－∂S/∂qi)qi'－(H＋∂S/∂t)＝0　(11) (11)が成立するためには左辺の各項が０でなければならないことから　　 pi＝∂S/∂qi、∂S/∂t＋H＝０　　　　 (12) つまりSはハミルトン－ヤコビの方程式の解ということになります。ふ～、すこしつかれた。　　　　　　　

RE:解析力学やってます

投稿者：KENZOU 投稿日：2003年 8月22日(金)23時08分29秒

にこれっとさん、ようこそ。ところで解析力学をやっておられるのですか、頑張ってくださいね。さて、ご質問の件ですが＞S=∫Ldt ←ｔoからtで積分しています。＞　　　　　　積分範囲打てなかったので･･･＞とおくとき∂S/∂t=Hとなることが解りません。のSは作用積分のことですか。そうするとLをラグランジアン、Hをハミルトニアンとすると L＝Σｐiqi'－H　（ダッシュは時間微分を表わす）（１）で作用積分の変分０（作用積分が極値をとる）からハミルトンの運動方程式がでてきます。つまり S＝δ∫Ldt＝０より　（２） qi'＝∂H/∂pi　（３） pi'＝∂H/∂qi　（４）ご質問の∂S/∂t=H は？？です。ところでSをハミルトン-ヤコビの方程式に現れるハミルトンの主関数とすれば ∂S/∂t＋H=0　（５）といういわゆるハミルトン-ヤコビの偏微分方程式を表わします。但しこのSは（２）とは関係ありません。Sは何だというのは本ＨＰの解析力学ノートを見てください。次ぎに正準変換を（pq)→（QP)とすると、これら変数の間には ∂Q/∂q＝∂p/∂P　（６） ∂Q/∂p＝－∂q/∂P （７）という式が成立します。今、正準変数Qの式を書いた場合、正準変数Pはどのような式になるかは方程式（６）、（７）から求めることが出来ます。一つトライしてみてください。書かれている正準変数Qは場の理論なんかによく出てくる生成消滅演算子のような形をしていますね。調和振動子の古典力学では余りこのような正準変数は使わないと思いますが、、、ところで、調和振動子のハミルトニアンにポアンカレの変換（これも正準変換です。母関数Ｗ=(1/2)q^2cotQ） q＝sqrt(2P)sinQ　（８） p＝sqrt(2P)cosQ　（９）を施すとハミルトニアンはきわめて簡単なものになってしまいます。一度試してみてください。それでは、また～

解析力学やってます。

投稿者：にこれっと投稿日：2003年 8月21日(木)01時30分5秒

はじめまして。質量m、長さlの球面振子についてなんですが、角運動量が[lx ly ]=lz 、[ly lz ]=lx、[lz lx ]=ly となることと、 S=∫Ldt ←ｔoからtで積分しています。　　　　　　積分範囲打てなかったので･･･とおくとき∂S/∂t=Hとなることが解りません。それと、H=P^2 /2m+1/2mω^2 q^2 正準変換（pq)→（QP) Q=p/√2m+i√m/2*ωq のとき、Pをどのように選べば正準変換になるか解りません。又、正準変換後の正準方程式からQが単振動することを示したいのですが、教えて下さい。

こんにちは

投稿者：KENZOU 投稿日：2003年 5月 7日(水)23時08分57秒

ゆみさん、こんにちは。ホームページを見させていただきましたが、素晴らしい内容と構成ですね。中でも「科学の戯言」のコーナは非常に楽しいです。小生の「電磁気学再入門」は、ボツボツとテキストを読み進めて行こうと思っています。どれだけお役に立つか分かりませんが、まぁ、ちょくちょくと覗いてみてください。これからもご声援よろしくお願いします。

はじめまして

投稿者：ゆみ投稿日：2003年 5月 7日(水)13時39分51秒

ぶつりんぐを辿っていましたらここに着きました。只今物理学習中の大学1年生です。電磁気学の講義でものすごく躓いているので、これからはちょくちょく見に来ると思います。これからもどうぞよろしくお願いします。

http://ip.tosp.co.jp/i.asp?i=mkgsAKmol

CoffeeBreakを更新した

投稿者：KENZOU 投稿日：2003年 1月 2日(木)21時42分59秒

Coffee Breakに複素関数論を載せました。この原稿は1年ほど前に書いたもので、投稿が遅れたのには理由があった。実はこのＨＰのファイルを小生の手違いから消し去ってしまい、その後このＨＰはホッタラカシにされたまま。あるとき、ファイルをサーバーから逆にとりこめば上手くいくのではないかとﾌｯと思いつき、やってしまうと目出度くうまくいった。そこで古い原稿を引っ張り出し、CoffeeBreakの更新と相成ったわけです。これだけではということで解析力学のNoetherの定理を追加することにました。Noetherの定理は現在進行中で、ボチボチやっていきますが。

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