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リキさん，こんにちは。
>物理を初めてまだ一週間も経っていないもので
物理を独習されているのでしょうか。骨は折れると思いますが，がんばってください。
さて，長さL，線密度σの弦が両端が固定されていて，張力Tで張られているとします。この弦を少し爪弾き振動させた場合，その振動はこれは次の偏微分方程式（波動方程式）で表されることが知られています。
∂^2ψ/∂t^2＝(T/σ)∂^2ψ/∂x^2
ここでψ(x)は点xにおける弦の変位，Tは張力，σは線密度です。この辺りの詳しい導出については以下のサイトの「波動」の項目を参照ください（←他にもあると思いますがご自分で検索してみてください）。
http://physics.s.chiba-u.ac.jp/~kurasawa/#lecture
この波動方程式をx＝0,x＝Lでψ(0)＝ψ(L=)0という境界条件の下に解くと（←弦の両端は固定されているという条件です。このような波を定常波といいます），振動数をνとして
νn=(n/2L)√(T/σ) n=1,2,3･･･ ①
という解が得られます。ここで重要な点は定常波の振動数は飛び飛びの値しかとれないということで，この一連振動数のことを固有振動数と呼んでいます。ところでこの波の波長はどこにいったかということですが，①式の右辺の(n/2L)の逆数(2L/n)が波長λnなのです。ためしにn=1の場合を描くと波長は弦の2倍の長さになりますね。n=2の場合等は確かめてください。
波の速度をｖとするとv＝νλと書かれますから，①よりv＝√（T/σ)となります。張力Tを強くすれば波の速度は増加していきますね。ということで①を書き直すと
νn=v/λn ②
となります。
>これは波長を一定として波の速さを変えることに対応している
②よりこの辺りの事情がわかると思います。最後に
>振動数を大きくするにはどのような線密度にすると良いか。
これは①より√(T/σ)を大きくしてやればいいことなので，σ＜Tという条件にすればいいと思います。
以上，かなり雑駁な説明となりましたが，ご検討ください。
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