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こんにちは、小林＠那須と申します。yama さんと やりとりするのは、初めてではないとおもいます。今年のゴールデン・ウィークのころ一週間弱にわたって MSKA 電磁単位系についての議論に付き合ってくれたことを覚えていらっしゃるでしょうか。あの節はありがとうござました。(あのような議論のできる yama さんが日本に何人もいるとは思えません。)
本題の Hamilton-Jacobi 偏微分方程式:H(q,∂S/∂q)==E の解の一意性の問題に入ります。
自由度が二以上の系では H(q, ∂S/∂q) = E を満たす S(q) が 初期位置:q0 S(q0)==0 の条件だけからでは 一意的に定まりません。例えば、二自由度の系の偏微分方程式では q0=(x0,y0) を含む曲線での S(x,y on 曲線) 初期位置が与えられてやっと H(q, ∂S/q) = E を満たす S(q) が定まります。
一方で S(q) ≡ ∫[q0,q] L(q,q')dt と定義してやれば、この S(q) は H(q,∂S/∂q)==E を満たします。
現実には Hamiltonian が、運動エネルギー：T について 運動量:p についての二次形式となっているため、H(q,∂S/∂q)==E を満たす S(q) は大きく制限されます。大部分の初期条件については、偏微分方程式を解こうとしても、解が複素数値に入り込んでしまうからです。実数値解だけに限定すると、H(q,∂S/∂q)==E を満たす、S(q) は ∫[q0,q] L(q,q')dq だけだろうと推測しています。 でもこれは数値実験からの推測にすぎません。数学的な強い根拠はありません。
なお、残念ながら大部分の解析力学の教科書は H(q,∂S/∂q)==E の解の一意性については無視しています。また一次だけの偏微分方程式ならば、任意の初期条件に対して、与えられた偏微分方程式を満たす解が存在します。また自由度が一の系では、H(q,∂S/∂q)==E の解の一意性も言えるので、こんな面倒なことを考える必要もありません。
yama さんは二自由度以上の Hamilton-Jacobi:偏微分方程式：H(q,∂S/∂q)==E の解の一意性について どのように考えているか聞かせてもらえますでしょうか。
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/index.htm
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