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返答ありがとうございます。わかりやすいです。
前半のリーマンですが、そういう捉えた方をすべきですね。リーマン積分を定義するときは、定義域をn個に分割して、分割区間を利用して外測度と内測度を定義します。その分割を無限にしていったときに、内測度と外測度が一致するわけですよね。関数は連続的であるとしているので、その内測度と外測度が一致するさまは、まさに右極限と左極限といってよいでしょう。
僕が例にあげたタイルの話は、測度を考えるときに良く使われる例ですよね。タイルを敷き詰めていく、という話です。自分の中で、「測度」と「積分」の定義の関係が曖昧なのが、理解不足へとつながっています。リーマン積分ですら、理解がやさしくありません。実は僕は文系なのです。。
後半のほうは、まさにそうです。ルベーグ外測度というのとジョルダン外測度というのはすごく似ているわけですよね。ルベーグ積分では、無理数や有理数の違いを捉えたいので、リーマンのようにn分割するというやり方だと、この違いをとらえきれません。ですから、捉えるために、「捉えるための『手』を大きくする」、つまり、任意のタイルで覆ってやるわけです。しかも、無限個で覆うのですね。その下限を「ルベーグ外測度」とするわけです。
それに対して内測度は、補集合を用いるのですね。つまり、「分かっている集合」から、「捉えたい有界集合」を除いた「補集合」を、無限のタイルで覆ってやるわけです。すると、内測度が捉えられるわけです。
ここで内測度=外測度＝ルベーグ測度となるわけです。まだ理解は不十分すぎますが、内測度という定義が「間接的」であるため、外測度だけで面積を捉えきれるというイメージはできます。不十分すぎるイメージですが。。。
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