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ちょっと横道にそれますが、例えばx=aでの関数の連続性を問題にする場合、ｘ=aに向かって右のほうから近づいた極限値と(limｘ→ａ＋）左のほうから近づいた極限値がどうかを議論します。そしてこれらの極限値が等しい場合、x=aで連続であるとされます。ジョルダン測度の内測度、外測度というものをninjaさんのタイル詰め込みイメージで無論いいわけですが、上の議論の右極限、左極限というイメージで捉えることもできると思います（→Riemann積分の可能条件）。そしてジョルダン可測というのは内測度＝外測度ということですね。
ところで、今集合Qがあるとしましょう。この集合がルベーグ可測であるための条件は外測度=内測度が成立することです。。。チョッと待って、これではジョルダンと一緒ではないか、わざわざルベーグを持ち出す意味はなに？ となりますが、実は内測度の定義にそのからくりが含まれているのです。このあたりの詳しいことは是非参考書（物理・工学のためのルベーグ積分入門、ルベーグ積分30講等）を見ていただくとして、要はジョルダン測度では測れない（例えば[0，1]の有理数の集合の長さ等）測度を、内測度の定義を工夫して内測度をもろに測りにいくのではなく、外測度の補集合を使ってうまく測れるようにしたということでしょうか。
さて、有界集合Qが可測である条件は外測度=内測度でした。ここでルベーグの内測度の定義を取り込むと集合Qの可測条件は外測度だけで表すことができます（←上記参考書を見てください）。
カラテオドリの可測集合は外測度だけで定義されていますが、可測集合というのは外測度=内測度＝測度の条件を有しているものですから、特に内測度を持ち込まなくても外測度だけで議論ができるということになります（←吉田洋一著「ルベク積分入門」培風館には内測度の議論を見かけなかったような）。
以上、とりあえず思いついたことを書きましたが、何らかのヒントにでもなれば幸いです。上に書いた参考書は是非図書館等で見てください。
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