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先ほどのメールは一部誤っていたので修正します。
Sのハミルトンの主関数は（２）と関係ない・・・というところが誤りで、
S＝∫Ldt＋定数
とかくことができます。訂正します。
ところで、dS/dt＋H＝0 を証明するにはハミルトン-ヤコビの理論の知識が必要になりますね。
とここで終わっておけばいいのだが、
《深みにはまっていく》
ここで解析力学を１から始めると大変なことになりますので、多少の知識は前提とします。その
辺の補足はご自分で頑張っていただくとして（この際解析力学ノートが多少でもお役に立てば幸いです）、ハミルトン－ヤコビの方程式の復習からスタートしましょう
＜ハミルトン－ヤコビの偏微分方程式＞
正準変換の母関数Ｗ＝Ｗ(qPt)をとると、元のハミルトニアンをH(qpt)、変換後のハミルト
ニアンを H＾として
pi＝∂W/∂qi (1a)
Qi＝∂W/∂Pi (1b)
H^＝H＋∂W/∂t (1c)
と書けます。 ここで新しいハミルトニアン H^＝0 となる条件は
∂W(qPt)/∂t＝－H(qpt) (2)
ですね。(2)を満たすWが求められたとすれば、正準方程式は
Pi’＝－∂H^/∂Qi＝0 （3）
となり、Piは定数！となります。それをαiとすると
Pi＝αi (4)
(1a)､(1b)､(4)を(2)にいれると
∂W/∂t＋H(qi∂W/∂qit)＝０ (5)
となります。これがWの満たすべき方程式でハミルトン･ヤコビの偏微分方程式と呼ばれています。
＜作用積分がハミルトン-ヤコビの方程式の解であることの証明＞
S=∫L(qiqi't)dt ('は時間微分) (6)
のSが(5)を満たすということは
∂S/∂t＋H(qi∂S/∂qit)＝０ (7)
ということですね。(6)を時間で微分すると
dS/dt＝L＝Σpiqi'－H (8)
一方、S＝S(qiqi't）ですから、これを時間で微分すると
dS/dt＝Σ(∂S/∂qi)qi'＋∂S/∂t (9)
(8)と(9)は恒等的に等しいから
Σpiqi'－H＝Σ(∂S/∂qi)qi'＋∂S/∂t (10)
整理して
Σ(pi－∂S/∂qi)qi'－(H＋∂S/∂t)＝0 (11)
(11)が成立するためには左辺の各項が０でなければならないことから
pi＝∂S/∂qi、∂S/∂t＋H＝０ (12)
つまりSはハミルトン－ヤコビの方程式の解ということになります。 ふ～、すこしつかれた。
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